Масъалаи № 54. Бо назардошти он ки \(n\) қатори ададҳои натуралиро мегузарад, қимати ифодаи зерин муайян карда шавад:
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^2}{n^3} + \frac{3^2}{n^3} + ... + \frac{(2n-1)^2}{n^3}\right].\]
Ҳал.
Ифодаи дар масъалаи № 53 овардашударо бо \(f(n)\) ишора мекунем:
\[f(n) = \frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + ... + \frac{(n-1)^2}{n^3}.\]
Аз ин ҷо
\[8f(2n) = 8\cdot \left[\frac{1^2}{(2n)^3} + \frac{2^2}{(2n)^3} + ... + \frac{(2n-1)^2}{(2n)^3}\right] = \\ = 8\cdot \frac{1^2 + 2^2 + ... + (2n-1)^2}{8n^3} = \\ = \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + (2n-2)^2 + (2n-1)^2}{n^3}.\]
\[4f(n) = 4\cdot \left[\frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + ... + \frac{(n-1)^2}{n^3}\right] = \\ = \frac{4\cdot(1^2 + 2^2 + ... + (n-1)^2)}{n^3} = \\ = \frac{2^2\cdot 1^2 + 2^2\cdot 2^2 + ... + 2^2\cdot (n-1)^2}{n^3} = \\ = \frac{2^2 + 4^2 + ... + (2n-2)^2}{n^3}.\]
Аз ин ҷо
\[8f(2n) - 4f(n) = \\ = \frac{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + (2n-2)^2 + (2n-1)^2}{n^3} - \\ - \frac{2^2 + 4^2 + ... + (2n-2)^2}{n^3} = \\ = \frac{1^2 + 3^2 + ... + (2n-1)^2}{n^3} = \frac{1^2}{n^3} + \frac{3^2}{n^3} + ... + \frac{(2n-1)^2}{n^3}.\]
Яъне,
\[\frac{1^2}{n^3} + \frac{3^2}{n^3} + ... + \frac{(2n-1)^2}{n^3} = 8f(2n) - 4f(n).\]
Ба инобат мегирем, ки
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + ... + \frac{(n-1)^2}{n^3}\right] = \frac{1}{3}.\]
(нигаред ба масъалаи 53)
Ҳудуди ҷусташаванда чунин аст:
\[\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1^2}{n^3} + \frac{3^2}{n^3} + ... + \frac{(2n-1)^2}{n^3}\right] = \\ = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left[8f(2n) - 4f(n)\right] = 8\cdot\frac{1}{3} - 4\cdot\frac{1}{3} = \frac{4}{3}.\]
Ҷавоб. \(\frac{4}{3}\).
